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Texte original :

Traduction française en dessous

Les graphiques sont disponibles ici :




Democratic societies are built around the principle of free and fair elections, that each citizen’s vote should count equal. National elections can be regarded as large-scale social experiments, where people are grouped into usually large numbers of electoral districts and vote according to their preferences. The large number of samples implies certain statistical consequences for the polling results which can be used to identify election irregularities. Using a suitable data collapse, we find that vote distributions of elections with alleged fraud show a kurtosis of hundred times more than normal elections. As an example we show that reported irregularities in the 2011 Duma election are indeed well explained by systematic ballot stuffing and develop a parametric model quantifying to which extent fraudulent mechanisms are present. We show that if specific statistical properties are present in an election, the results do not represent the will of the people. We formulate a parametric test detecting these statistical properties in election results. For demonstration the model is also applied to election outcomes of several other countries.

Free and fair elections are the cornerstone of every democratic society [1]. A central characteristic of elections being free and fair is that each citizen’s vote counts equal. However, already Joseph Stalin believed that ”The people who cast the votes decide nothing. The people who count them decide everything.” How can it be distinguished whether an election outcome represents the will of the people or the will of the counters?

Elections are fascinating, large scale social experiments. A country is segmented into a usually large number of electoral districts. Each district represents a standardized experiment where each citizen articulates his/her political preference via a ballot. Despite differences in e.g. income levels, religions, ethnicities, etc. across the populations in these districts, outcomes of these experiments have been shown to follow certain universal statistical laws [2, 3]. Huge deviations from these expected distributions have been reported for the votes for United Russia, the winning party in the 2011 Duma election [4, 5].

In general, using an appropriate re-scaling of election data, the distributions of votes and turnout are approximately a Gaussian [3]. Let Wi be the number of votes for the winning party and Ni the number of voters in electoral district i, then the logarithmic vote rate is νi = log Wi−Ni Wi

. In figure 2 we show the distribution of νi over all electoral districts. To rst order the data from different countries collapse to a Gaussian. Clearly the data for Russia and Uganda boldly fall out of line. Skewness and kurtosis are listed for each data-set in table SII, confirming these observations quantitatively.

Most strikingly, the kurtosis of the distributions for Russia (2003, 2007 and 2011) and Uganda deviate by two orders of magnitude from each other country. The only reasonable conclusion from this is that the voting results in Russia and Uganda are driven by other mechanisms or processes than other countries. However, such distributions only reveal part of the story, and a different representation of the data becomes helpful to gain a deeper understanding. Figure 1 shows a 2-d histogram of the number of electoral districts for a given fraction of voter turnout (x-axis) and for the percentage of votes for the winning party (y-axis). Results are shown for recent parliamentary elections in Austria, Finland, Russia, Spain, Switzerland, and the UK, and presidential elections in the USA and Uganda. Data was obtained from official election homepages of the respective countries, for more details and more election results,

see SOM. These figures can be interpreted as fingerprints of several processes and mechanisms leading to the overall election results. For Russia and Uganda the shape of these fingerprints are immediately seen to differ from the other countries. In particular there is a large number of districts (thousands) with a 100% percent turnout and at the same time a 100 % of votes for the winning party.

The shape of these irregularities can be understood with the assumption of the presence of the fraudulent action of ballot stuffing. This means that bundles of ballots with votes for one party are stuffed into the urns. Videos purportedly documenting these practices are openly available on online platforms [6–8]. In one case the urn is already filled with ballots before the elections start, e.g. [6], in other cases members of the election commission are caught filling out ballots, e.g. [7].

Yet in another case the pens in the polling stations are shown to be erasable, e.g. [8]. Are these incidents non-representative exceptions or the rule?

We develop a parametric model to quantify the extent of ballot stuffing for a given party to explain the election fingerprints in figure 1. The distributions for Russia and Uganda are clearly bimodal. One at intermediate levels of turnout and votes, smeared towards the upper right parts of the plot. The second peak is situated at the vicinity of the 100% turnout, 100% votes point. This suggests two modes of fraud mechanisms, incremental

and extreme fraud. Incremental fraud means that with a given rate ballots for one party are added to the urn and votes for other parties are replaced. This occurs within a fraction fi of electoral districts. In the election fingerprints in figure 1 these districts are shifted to the upper right. Extreme fraud corresponds to reporting nearly all votes for a single party with an almost complete voter turnout. This happens in a fraction fe of districts, which form a second cluster near 100% turnout and votes for the incumbent party.

For simplicity in the model we assume that within each electoral district turnout and voter preferences follow a Gaussian distribution with the mean and standard deviation taken from the actual sample, see figure S2. With probability fi (fe) the incremental (extreme) fraud mechanisms are then applied. Note that if more detailed assumptions are made about possible mechanisms leading to large-scale heterogeneities in the data such as city/country differences in turnout (UK) or coast–non-coast (USA) (see SOM), this will have an effect on the estimate of fi. Figure 3 compares the observed and modelled fingerprint plots for the winning parties in Russia, Uganda and Switzerland. Model results are shown for fi = fe = 0 (fair elections) and for best fits to the data (see SOM) for fi and fe. To describe the smearing from the main peak to the upper right corner, an incremental fraud probability around fi = 0.64 is needed for the case of United Russia. This means fraud in about 64% of the districts. In the second peak around the 100% turnout scenario there are roughly 3,000 districts with a 100% of votes for United Russia representing an electorate of more than two million people. Best fits yield fe = 0.05, i.e. five percent of all electoral districts experience extreme fraud. A more detailed comparison of the model performance for the Russian parliamentary elections of 2003, 2007 and 2011 is found in the figure S3. The fraud parameters for the Uganda data in figure 3 are fi = 0.45 and fe = 0.01.

The dimension of election irregularities can be visualized with the cumulative number of votes as a function of the turnout, figure 4. For each turnout level the total number of votes from districts with this, or lower turnouts are shown. Each curve corresponds to the respective election winner in a different country. Normally these cdfs level off and form a plateau from the party’s maximal vote count on. Again this is not the case for Russia and Uganda. Both show a boost phase of increased extreme fraud toward the right end of the distribution (red circles). Russia never even shows a tendency to form a plateau.

It is imperative to emphasize that the shape of the fingerprints in figure 1 will deviate from pure 2-d Gaussian distributions due to non-fraudulent mechanisms, such as heterogeneities in the population or voter mobilization, see SOM. However, these can under no circumstances explain the mode of extreme fraud. A bad forgery is the ultimate insult1.

It can be said with almost certainty that an election does not represent the will of the people, if a substantial fraction (fe) of districts reports a 100% turnout with almost all votes for a single party, and/or if any significant deviations from the sigmoid form in the cumulative distribution of votes versus turnout are observed. Another indicator of systematic fraudulent or irregular voting behaviour is a kurtosis of the logarithmic vote rate distribution of the order of several hundreds. Should such signals be detected it is tempting to invoke G.B. Shaw who held that democracy is a form of government that substitutes election by the incompetent many for appointment by the corrupt few.”


FIG. 1. Election fingerprints: 2-d histograms of the number of electoral districts for a given voter turnout (x-axis) and the percentage of votes (y-axis) for the winning party (or candidate) in recent elections from eight different countries (from left to right, top to bottom: Austria, Finland, Russia, Spain, Switzerland, Uganda, UK and USA) are shown. Colour represents the number of electoral districts. Districts usually cluster around a given turnout and voting level. In Uganda and Russia these clusters are ’smeared out’ to the upper right region of the plots, reaching a second peak at a 100% turnout and a 100% of votes (red circles). In Finland the main cluster is smeared out into two directions (indicative of voter mobilization due to controversies surrounding the True Finns). In the UK the fingerprint shows two clusters stemming from rural and urban areas (see SOM).


FIG. 2. A simple way to compare data from different elections in different countries is to present the distributions of the logarithmic vote rates νi of the winning parties as rescaled distributions with zero-mean and unit-variance [3]. Large deviations from other countries can be seen for Uganda and Russia with the plain eye.


FIG. 3. Comparison of observed and modelled 2-d histograms for (top to bottom) Russia, Uganda and Switzerland. The left column shows the actual election fingerprints, the middle column shows a fit with the fraud model. The column to the right shows the expected model outcome of fair elections (i.e. absence of fraudulent mechanisms fi = fe = 0). For Switzerland the fair and fitted model are almost the same.

The results for Russia and Uganda can only be explained by the model assuming a large number of fraudulent districts.


FIG. 4. The ballot stuffing mechanism can be visualized by considering the cumulative number of votes as a function of turnout. Each country’s election winner is represented by a curve which typically takes the shape of a sigmoid function reaching a plateau. In contrast to the other countries, Russia and Uganda do not tend to develop this plateau but instead show a pronounced increase (boost) close to complete turnout.

Both irregularities are indicative of the two ballot stuffing modes being present.




The data Descriptive statistics and official sources of the election results are shown in table SI. The raw data will be made available for download at Each data set reports election results of parliamentary

(Austria, Finland, Russia, Spain, Switzerland and UK) or presidential (Uganda, USA) elections on district level. In the rare circumstances where electoral districts report more valid ballots than registered voters, we work with a turnout of 100%. With the exception of the US data, each country reports the number of registered voters and valid ballots for each party and district. For the US there is no exact data on the voting eligible population on district level, which was estimated to be the same as the population above 18 years, available at Fingerprints for the 2000 US presidential elections are shown in figure S1 for both candidates for districts from the entire USA and Florida only. There are no irregularities discernible.


A country is separated into n electoral districts i, each having an electorate of Ni people and in total Vi valid votes. The fraction of valid votes for the winning party in district i is denoted vi. The average turnout over all districts, ¯ a, is given by ¯ a = 1/nPi (Vi/Ni) with standard deviation sa, the mean fraction of votes ¯ v for the winning party is ¯ v = 1/nPi vi with standard deviation sv. The mean values ¯ a and ¯ v are typically close to but not identical to the values which maximize the empirical distribution function of turnout and votes over all districts. Let v be the number of votes where the empirical distribution function assumes its (first local) maximum (rounded to entire percents), see figure S2. Similarly a is the turnout where the empirical distribution function of turnouts ai takes its (first local) maximum. The distributions for turnout and votes are extremely skewed to the right for Uganda and Russia which also inflates the standard deviations in these countries, see table SI. To account for this a ’left-sided’ (’right-sided’) mean deviation σLv (σRv ) from v is introduced. σRv can be regarded as the incremental fraud width, a measurable parameter quantifying how intense the vote stuffing is. This contributes to the ’smearing out’ of the main peaks in the election fingerprints, see figure 1 in the main text. The larger σRv , the more inflated the vote results due to urn stuffing, in contrast to σLv which quantifies the scatter of the voters’ actual preferences. They can be estimated from the data by σL v =ph(vi − v)2ivi<v , (1)

σRv =ph(vi − v)2ivi>v . (2)

Similarly the extreme fraud width σx can be estimated, i.e. the width of the peak around 100% votes. We found that σx = 0.075 describes all encountered vote distribution


FIG. 1. Turnout against percentage of votes for Bush (left column) and Gore (right) in the 2000 US presidential elections. Results are shown for all districts in the USA (top row) and for districts from Florida (bottom). There are no traces of fraudulent mechanisms discernible in the fingerprints.


FIG. 2. A stylized version of an empirical vote distribution function shows how v, σLv, σR v and σx are derived from the election results. v is the maximum of the distribution function. σLv measures the distribution width of values to the left of v, i.e. smaller than v. The incremental fraud with σRv measures the distribution width of values to the right of v, i.e. larger than v. The extreme fraud width σx is the width of the peak at 100% votes.





 (Traduction automatique, ne rêvez pas, je ne suis pas traducteur)


Les sociétés démocratiques sont construites autour du principe d'élections libres et équitables, que le vote de chaque citoyen doit compter égal. Les élections nationales peuvent être considérées comme des expériences sociales de grande envergure, où les gens sont généralement regroupés en un grand nombre de circonscriptions électorales et à voter selon leurs préférences. Le grand nombre d'échantillons implique certaines conséquences statistiques pour les résultats des bureaux de vote qui peuvent être utilisés pour identifier les irrégularités électorales. L'utilisation d'un effondrement de données appropriée, nous constatons que les distributions de vote des élections avec des allégations de fraude montrent un aplatissement de cent fois plus que des élections normales. À titre d'exemple, nous montrons que les irrégularités signalées à la Douma élection de 2011 sont en effet bien expliquées au scrutin systématique farce et de développer un modèle paramétrique quantifiant les mécanismes frauduleux de mesure sont présents. Nous montrons que si les propriétés statistiques spécifiques sont présentes dans une élection, les résultats ne reflètent pas la volonté du peuple. Nous formulons la détection de ces propriétés statistiques des résultats de l'élection d'un test paramétrique. Pour la démonstration du modèle est également appliqué aux résultats des élections de plusieurs autres pays.
Des élections libres et équitables sont la pierre angulaire de toute société démocratique [1]. Une caractéristique centrale des élections soient libres et régulières est que le vote de chaque citoyen compte égal. Cependant, déjà Joseph Staline croyait que «Les gens qui jettent les votes décident rien. Les gens qui comptent eux qui décident de tout. "Comment peut-il être distingué si un résultat de l'élection représente la volonté du peuple ou la volonté des compteurs?
Les élections sont fascinants grandes expériences sociales, de l'échelle. Un pays est segmenté en une habitude grand nombre de circonscriptions électorales. Chaque district représente une expérience standardisée où chaque citoyen exprime son / sa préférence politique via un bulletin de vote. Malgré les différences, par exemple dans les niveaux de revenus, de religions, d'ethnies, etc à travers les populations de ces quartiers, les résultats de ces expériences ont été montré pour suivre certaines lois statistiques universelles [2, 3]. Écarts énormes de ces distributions attendus ont été rapportés pour les votes pour Russie unie, le parti remportant à la Douma élection de 2011 [4, 5].
En général, l'utilisation d'une remise à l'échelle appropriée des données électorales, la répartition des voix et la participation sont environ une gaussienne [3]. Soit Wi soit le nombre de votes pour le parti gagnant et Ni le nombre d'électeurs dans la circonscription électorale i, alors le taux de vote logarithmique est ν i = log Wi-Ni Wi
. Dans la figure 2 montre la répartition de ν i sur toutes les circonscriptions électorales. Pour fi rst pour les données provenant de différents pays s'effondrent à une gaussienne. Il est clair que les données pour la Russie et l'Ouganda hardiment tombent hors de la ligne. Asymétrie et d'aplatissement sont répertoriées pour chaque ensemble de données dans le tableau SII, ce qui confirme ces observations quantitativement.
Plus frappant encore, l'aplatissement des distributions pour la Russie (2003, 2007 et 2011) et en Ouganda s'écartent de deux ordres de grandeur de l'autre pays. La seule conclusion raisonnable est que les résultats du vote en Russie et en Ouganda sont entraînés par d'autres mécanismes ou processus que les autres pays. Toutefois, ces distributions ne révèlent partie de l'histoire, et une représentation différente de la donnée devient utile d'acquérir une compréhension plus profonde. La figure 1 montre un histogramme 2-d du nombre de circonscriptions électorales pour une fraction donnée de la participation électorale (en abscisse) et le pourcentage de votes pour le parti gagnant (axe des y). Les résultats sont présentés pour les récentes élections législatives en Autriche, la Finlande, la Russie, l'Espagne, la Suisse et le Royaume-Uni, et les élections présidentielles aux Etats-Unis et en Ouganda. Les données ont été obtenues à partir des pages d'accueil électorales officielles de leurs pays respectifs, pour plus de détails et plus de résultats électoraux,
voir SOM. Ces chiffres peuvent être interprétés comme des empreintes digitales de plusieurs processus et les mécanismes menant à des résultats globaux des élections. Pour la Russie et l'Ouganda la forme de ces empreintes sont vus immédiatement à différer des autres pays. En particulier, il ya un grand nombre de districts (des milliers) d'un pour cent le taux de participation de 100% et dans le même temps de 100% des voix pour la partie gagnante.
La forme de ces irrégularités peut être comprise à l'hypothèse de la présence de l'action frauduleuse de bourrage des urnes. Cela signifie que les liasses de bulletins de vote avec voix pour un parti sont entassés dans les urnes. Vidéos documentant prétendument ces pratiques sont ouvertement disponibles sur les plateformes en ligne [6-8]. Dans un cas, l'urne est déjà rempli de bulletins de vote avant les élections commencent, par exemple [6], dans d'autres cas, les membres de la commission électorale sont pris remplissant des bulletins, par exemple [7].
Pourtant, dans un autre cas, les stylos dans les bureaux de vote sont présentés pour être effaçable, par exemple [8]. Sont ces incidents exceptions non représentatifs ou la règle?
Nous développons un modèle paramétrique pour quantifier l'ampleur de bourrage des urnes pour un parti donné pour expliquer les empreintes digitales des élections dans la figure 1. Les distributions pour la Russie et l'Ouganda sont clairement bimodale. Une à des niveaux intermédiaires de participation et les votes, enduit vers les parties supérieure droite de l'intrigue. Le deuxième pic est situé à proximité de l'aiguillage de 100%, 100% Point voix. Cela suggère deux modes de mécanismes de fraude, incrémentielles
et l'extrême fraude. Fraude incrémental signifie qu'avec une donnée bulletins de taux pour une partie sont ajoutés à l'urne et votes pour d'autres partis sont remplacés. Cela se produit dans un fi fraction des circonscriptions électorales. Dans les empreintes digitales de l'élection de la figure 1, ces quartiers sont décalées vers le coin supérieur droit. Fraude extrême correspond à des rapports presque tous les votes pour un parti unique avec un taux de participation presque complète. Cela se produit en une fraction Fe de districts qui forment un second groupe de près de 100% de participation et de vote pour le parti au pouvoir.
Pour plus de simplicité dans le modèle, nous supposons que dans chaque participation de circonscription et les préférences des électeurs suivent une distribution gaussienne avec moyenne et la déviation standard de prise de l'échantillon réel, voir figure S2. Avec une probabilité fi (fe) les mécanismes de fraude incrémentales (extrême) sont ensuite appliquées. Notez que si des hypothèses plus détaillées sont faites sur les mécanismes possibles conduisant à des hétérogénéités à grande échelle dans les données telles que Ville / Pays différences dans le taux de participation (Royaume-Uni) ou aux côtes non-côte (USA) (voir SOM), cela aura un effet sur l'estimation de fi. La figure 3 compare les parcelles d'empreintes observées et modélisées pour les parties gagnantes en Russie, en Ouganda et en Suisse. Les résultats du modèle sont présentés pour fi = fe = 0 (élections justes) et pour de meilleurs ajustements aux données (voir SOM) pour fi et fe. Pour décrire l'étalement du pic principal dans le coin supérieur droit, une probabilité de fraude supplémentaire autour fi = 0,64 est nécessaire pour le cas de la Russie Unie. Cela signifie que la fraude dans environ 64% des districts. Dans le second pic autour du scénario de taux de participation de 100% il ya environ 3.000 districts avec un 100% de votes pour Russie unie qui représentent un électorat de plus de deux millions de personnes. Meilleur rendement des crises fe = 0,05, soit cinq pour cent de toutes les circonscriptions électorales expérience extrême fraude. Une comparaison plus détaillée de la performance du modèle pour les élections législatives russes de 2003, 2007 et 2011 se trouve dans les figures S3. Les paramètres de la fraude pour les données Ouganda dans la figure 3 sont fi = 0,45 et fe = 0,01.
La dimension des irrégularités électorales peut être visualisé avec le nombre cumulé de voix en fonction du taux de participation, la figure 4. Pour chaque niveau de participation le nombre total de votes des districts avec ceci, ou aiguillages inférieures sont présentées. Chaque courbe correspond au vainqueur de l'élection respective dans un pays différent. Normalement, ces niveaux cdfs off et former un plateau de décompte des voix maximale du parti sur. Encore une fois ce n'est pas le cas pour la Russie et l'Ouganda. Tous deux montrent une phase de propulsion de l'augmentation de la fraude extrême vers l'extrémité droite de la distribution (cercles rouges). La Russie n'a jamais montre même une tendance à former un plateau.
Il est impératif de souligner que la forme des empreintes digitales dans la figure 1 déviera de pur 2D gaussiennes dues à des mécanismes non frauduleuse, comme les hétérogénéités dans la population ou la mobilisation des électeurs, voir SOM. Toutefois, ceux-ci peuvent en aucun cas expliquer le mode de l'extrême fraude. Une mauvaise contrefaçon est la insult1 ultime.
On peut dire avec quasi certitude que l'élection ne représente pas la volonté du peuple, si une fraction importante (fe) de districts rapporte un taux de participation de 100% avec presque tous les votes pour un parti unique, et / ou si des écarts importants par rapport la forme sigmoïde dans la distribution cumulative des votes contre le taux de participation soient respectées. Un autre indice de comportement de vote frauduleuse ou irrégulière systématique est un aplatissement de la distribution des taux de vote logarithmique de l'ordre de quelques centaines. Si ces signaux sont détectés, il est tentant d'invoquer GB Shaw, qui a jugé que la démocratie est une forme de gouvernement qui substitue l'élection par l'incompétent beaucoup de rendez-vous par une minorité corrompue. "
. Figure 1. empreintes digitales des élections: 2-D histogrammes du nombre de circonscriptions électorales pour une participation donnée sur les listes électorales (en abscisse) et le pourcentage de votes (en ordonnée) pour la partie gagnante (ou candidats) lors des dernières élections de huit pays différents (à partir de de gauche à droite, de haut en bas: Autriche, Finlande, Russie, Espagne, Suisse, Ouganda, Royaume-Uni et Etats-Unis) sont représentés. Couleur représente le nombre de circonscriptions électorales. Les districts regroupent généralement autour d'un taux de participation donné et le niveau du vote. En Ouganda et en Russie ces groupes sont «étalées out 'à la région supérieure droite des parcelles, pour atteindre un deuxième pic à un taux de participation de 100% et de 100% des voix (cercles rouges). En Finlande, le groupe principal est étalé dehors dans deux directions (indicatif de mobilisation des électeurs en raison de controverses entourant les Vrais Finlandais). Au Royaume-Uni l'empreinte montre deux groupes issus de zones rurales et urbaines (voir SOM).
. Figure 2. Une façon simple de comparer les données des différentes élections dans les différents pays est de présenter les distributions du vote logarithmique taux νi des parties gagnantes que les distributions rééchelonnés avec moyenne nulle et de variance unité [3]. Grands écarts par rapport à d'autres pays peuvent être considérés pour l'Ouganda et de la Russie à l'œil clair.
. Figure 3. Comparaison des valeurs observées et modélisées en 2-D histogrammes (de haut en bas) la Russie, l'Ouganda et la Suisse. La colonne de gauche montre les empreintes digitales des élections réelles, la colonne du milieu montre une adéquation avec le modèle de la fraude. La colonne de droite montre le modèle résultat attendu des élections justes (absence de mécanismes frauduleux fi = fe = 0). Pour la Suisse, le modèle de la juste et équipée sont presque les mêmes.
Les résultats pour la Russie et l'Ouganda ne peuvent être expliquées par le modèle en supposant un grand nombre de districts frauduleuses.
. Figure 4. Le mécanisme de bourrage de vote peut être visualisé en considérant le nombre cumulé de voix en fonction du taux de participation. Le vainqueur de l'élection de chaque pays est représenté par une courbe qui prend généralement la forme d'une fonction sigmoïde atteindre un plateau. Contrairement aux autres pays, la Russie et l'Ouganda n'ont pas tendance à développer ce plateau, mais montrent plutôt une augmentation prononcée (boost) à proximité de compléter le taux de participation.
Les irrégularités sont représentatifs des deux modes de bourrage de bulletins de vote soient présents.
Les statistiques descriptives des données et des sources officielles des résultats de l'élection sont présentés dans le tableau SI. Les données brutes seront disponibles en téléchargement sur
​​ . Chaque jeu de données présente les résultats de l'élection du Parlement
(Autriche, Finlande, Russie, Espagne, Suisse et Royaume-Uni) ou des élections présidentielles (Ouganda, USA) au niveau du district. Dans les rares cas où les circonscriptions électorales déclarent bulletins valides plus que d'électeurs inscrits, nous travaillons avec un taux de participation de 100%. À l'exception des données États-Unis, chaque pays indique le nombre d'électeurs inscrits et bulletins valides pour chaque partie et de district. Aux États-Unis il n'y a pas de données précises sur la population éligible de vote au niveau du district, qui a été estimée à être la même que la population de plus de 18 ans, disponible à Empreintes digitales pour les élections présidentielles américaines 2000 sont présentés dans la figure S1 pour les deux candidats pour les districts de l'ensemble Etats-Unis et en Floride seulement. Il n'y a pas d'irrégularités perceptibles.
Un pays est divisé en circonscriptions électorales n i, ayant chacun un électorat de personnes de Ni et au total Vi votes valides. La fraction de votes valides pour la partie gagnante dans le district i est notée vi. Le taux moyen sur l'ensemble des districts, ¯ a est donné par ¯ a = 1/nPi (Vi / Ni) avec un écart-type SA, la fraction moyenne des votes ¯ v pour la partie gagnante est ¯ v = 1/nPi vi avec la norme sv de déviation. Les valeurs moyennes ¯ a et ¯ v sont généralement proche mais pas identique aux valeurs qui maximisent la fonction de répartition empirique de la participation et de vote pour toutes les régions. Soit v le nombre de votes où la fonction de répartition empirique assume sa (première locale) au maximum (arrondi à pourcentages entiers), voir Figure S2. De même, un est le taux de participation où la fonction de répartition empirique des aiguillages par intérim prend son maximum (premier local). Les distributions pour la participation et les votes sont extrêmement biaisés vers la droite pour l'Ouganda et la Russie qui gonfle également les écarts-types de ces pays, voir tableau SI. Pour tenir compte de cette une «côté gauche» («côté droit») signifie écart σLv (σRv) de v est introduit. σRv peut être considérée comme la largeur de la fraude progressive, un paramètre mesurable quantifier l'intensité de la voix farce est. Cela contribue à la «bavures out 'des principaux sommets des empreintes digitales des élections, voir la figure 1 dans le texte principal. Le plus grand σRv, le plus gonflé, le vote résultats en raison de la farce urne, contrairement à σLv qui quantifie la dispersion des préférences réelles des électeurs. Ils peuvent être estimées à partir des données par σL v = ph (vi - v) 2ivi <v, (1)
σRv = ph (vi - v) 2ivi> v. (2)
De même, l'extrême fraude largeur σx peut être estimée, à savoir la largeur du pic autour de 100% des voix. Nous avons constaté que σx = 0,075 décrit toutes Répartition des votes rencontré
. Figure 1. Le taux de participation en fonction du pourcentage de votes pour Bush (colonne de gauche) et Gore (à droite) lors des élections présidentielles américaines de 2000. Les résultats sont présentés pour tous les districts aux USA (rangée du haut) et les districts de la Floride (en bas). Il n'y a pas de traces de mécanismes frauduleux perceptibles dans les empreintes digitales.
. Figure 2. Une version stylisée d'une fonction de distribution de vote empirique montre comment v, σLv, σR v et σx sont dérivés des résultats des élections. v est le maximum de la fonction de distribution. σLv mesure la largeur de la distribution des valeurs de la gauche de V, c'est à dire inférieur à v La fraude incrémental avec σRv mesure la largeur de la distribution des valeurs de la droite de V, c'est à dire plus grande que v L'extrême fraude largeur est la largeur σx
du pic à 100% votes.